Question

20．在平行四邊形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=2，點P在CD上，且$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，∠BAD=$\frac{π}{4}$，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=6．

Answer 1

分析 運用向量的數量積的坐標表示可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=8，以及向量加法和減法的三角形法則，計算即可得到所求值．

解答 解：由于$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠BAD
=4$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{3}{16}{\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{16}$×32-4+$\frac{1}{2}$×8=6．
故答案為：6．

點評 本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查向量的加法和減法的三角形法則，考查運算能力，屬于基礎題．