Question

設函數(shù)，
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)及此時f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵f（x）的定義域為R，任設x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）到因式乘積的形式，判斷符號，得出結論．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，進而得到函數(shù)的解析式：．
由 2^x+1＞1，可得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設 x₁＜x₂，
則=，
∵x₁＜x₂，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即，
解得：a=1．∴．
∵2^x+1＞1，∴，
∴，∴
所以f（x）的值域為（-1，1）．
點評：本題考查證明函數(shù)的單調性的方法、步驟，利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值，及求函數(shù)的值域．