Question

已知p＞0，動點M到定點F的距離比M到定直線l：x=-p的距離小．
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A，B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，，求△AOB面積的最小值；
（Ⅲ）在軌跡C上是否存在兩點P，Q關于直線對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知動點M到定點F與到定直線的距離相等，點M的軌跡為拋物線，由此可求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=4p²，==16p⁴，由此導出△AOB面積最小值為4p²．
（Ⅲ）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x，y），由題設條件知，y=-pk，再由D（x，y）在上，知點D（x，y）在拋物線外，所以在軌跡C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．
解答：解：（Ⅰ）∵動點M到定點F與到定直線的距離相等
∴點M的軌跡為拋物線，軌跡C的方程為：y²=2px．（4分）

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
∴x₁x₂=4p²
∴
=
=≥=16p⁴
∴當且僅當x₁=x₂=2p時取等號，△AOB面積最小值為4p²．（9分）

（Ⅲ）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x，y）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在軌跡C上
∴y₃²=2px₃，y₄²=2px₄
兩式相減得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=2p（x₃-x₄）
∴
∴y=-pk
∵D（x，y）在上
∴，點D（x，y）在拋物線外
∴在軌跡C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．（14分）
點評：本題綜合考查軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．