Question

拋物線方程為y²=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊．
（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；
（2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，
求p關于m的函數f（m）的表達式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為，
求此直線的方程．

Answer 1

解：（1）拋物線y²=p（x+1）的準線方程是x=-1-，
直線x+y=m與x軸的交點為（m，0），
題設交點在準線右邊，
得m＞-1-，即4m+p+4＞0．
由，
得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．
而判別式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，
可知△＞0．
因此，直線與拋物線總有兩個交點； …（4分）
（2）設Q、R兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的兩根，
∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．
由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0．
又Q、R為直線x+y=m上的點，
因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．
于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，
∴p=f（m）=，
由，
得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）由于拋物線y²=p（x+1）的焦點F坐標為（-1+，0），
于是有，
即|p-4m-4|=4．
又p=，
∴||=4．
解得m₁=0，m₂=-，m₃=-4，m₄=-．
但m≠0且m＞-2，因而舍去m₁、m₂、m₃，
故所求直線方程為3x+3y+4=0．…（14分）
分析：（1）拋物線y²=p（x+1）的準線方程是x=-1-，直線x+y=m與x軸的交點為（m，0），由題設交點在準線右邊，得4m+p+4＞0．由，得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．由此得到直線與拋物線總有兩個交點．
（2）設Q、R兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的兩根，所以x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．由此能求出函數f（m）的表達式．
（3）由于拋物線y²=p（x+1）的焦點F坐標為（-1+，0），得|p-4m-4|=4．由p=，知||=4．由此能夠推導出所求的直線方程．
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．