Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一點p到兩焦點距離之積為m，則m最大時，P點坐標是（　�。�

• A、（5，0）和（-5，0）
• B、（0，3）和（0，-3）
• C、(

  5

  2

  ，

  3 3

  2

  )和(

  5

  2

  ，-

  3 3

  2

  )
• D、(

  5 3

  2

  ，

  3

  2

  )和(-

  5 3

  2

  ，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：設焦點坐標為F₁，F₂，依題意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m，根據均值不等式可求得2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²求得m的最大值，當且僅當|PF₁|=|PF₂|時等號成立，根據橢圓對稱性可知當點P在橢圓的短軸頂點時，等號成立．點P的坐標可得．

解答：解：設焦點坐標為F₁，F₂，依題意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2m
∵2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²
∴2m≤100-2m，即m≤25（當且僅當|PF₁|=|PF₂|時等號成立）
即當點P在橢圓的短軸頂點時，等號成立．
∴此時點P的坐標為（0，3）和（0，-3）
故選B

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓的基本性質．考查了學生對橢圓定義的理解和運用．