Question

【題目】已知f（x）= ，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x﹣2，ny）在函數y=gn（x）的圖象上運動（n∈N*）．
（1）求y=gn（x）的表達式；
（2）若方程g1（x）=g2（x﹣2+a）有實根，求實數a的取值范圍；
（3）設 ，函數F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域為 ，求實數a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得 ，

所以 ，（x＞﹣2）

（2）

解： ，

即 （x+2＞0）

，令 ，

所以 ，

當 時， ．

即實數a的取值范圍是

（3）

解：因為 ，

所以 ．F（x）在（﹣2，+∞）上是減函數．

所以

即 ，

所以

【解析】（1）根據點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動可得y=log2x，點N（x﹣2，ny）函數y=gn（x）的圖象上運動可得 gn（x﹣2）=ny故 gn（x﹣2）=nlog2x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=gn（x）的表達式．（2）由（1）可得要使關于x的方程 g1（x）=g2（x﹣2+a）有實根，a∈R，可得：（x+2）2=x+a在x＞﹣2有實根即a=（x+2）2﹣x在x＞﹣2有實根即只需求出（x+2）2﹣x在x＞﹣2的范圍即為a的范圍．（3）由（1）可得F（x）= +log （x+2）（x＞﹣2）再根據） 和log （x+2）的單調性得出F（x）的單調性，從而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域為 可列出等式求出a，b的值．