Question

已知實數c≥0，曲線與直線l：y=x-c的交點為P（異于原點O）．在曲線C上取一點P₁（x₁，y₁），過點P₁作P₁Q₁平行于x軸，交直線l于Q₁，過點Q₁作Q₁P₂平行于y軸，交曲線C于P₂（x₂，y₂）；接著過點P₂作P₂Q₂平行于x軸，交直線l于Q₂，過點Q₂作Q₂P₃平行于y軸，交曲線C于P₃（x₃，y₃）；如此下去，可得到點P₄（x₄，y₄），P₅（x₅，y₅），…，P_n（x_n，y_n），設點P坐標為，x₁=b，0＜b＜a．
（1）試用c表示a，并證明a≥1；
（2）證明：x₂＞x₁，且x_n＜a（n∈N^*）；
（3）當時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）點P的坐標滿足方程組，由 ，可得 a≥1．
（2）由 ，0＜b＜a，a≥1，可得
 ，即x₂＞x₁．用數學歸納法證明x_n＜a．
（3）當c=0時，，由 ，可得 x_k單調遞增．當n≥1時，
，，
從而得到  ．
解答：（1）點P的坐標滿足方程組，∴，
解得平方，得，∵c≥0
∴，所以a≥1．
（2）由已知，得 ，，，
即x₁=b，，．   由（1）知，
∴，∵0＜b＜a，a≥1，
∴，即x₂＞x₁；
下面用數學歸納法證明x_n＜a（n∈N^*）：①當n=1時，x₁=b＜a；
②假設當n=k時，x_k＜a，則當n=k+1時，；
綜上，x_n＜a（n∈N^*）．
（3）當c=0時，，，∴，
∵，∴x_k單調遞增．
∴當n≥1時，有，即，
又，∴，
∴．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，用數學歸納法證明不等式，判斷P的坐標滿足方程組，是解題的突破口．