Question

如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求二面角D-BE-C的大小；
（3）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據G是AC的中點，連接FG，而BF⊥平面ACE，根據線面垂直的性質可知CE⊥BF，而BC=BE，從而F是EC的中點，根據中位線定理可知FG∥AE，而FG?平面BFD，AE?平面BFD，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論；
（2）根據BF⊥面ACE，由線面垂直的性質得BF⊥AE，且BC⊥面ABE，則AE⊥BE，從而DE⊥BE，又BC⊥BE，故BC，DE所成角為二面D-BE-C的平面角，在三角形ADE中求出此角即可；
（3）根據AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B，滿足線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，而AE∥FG則FG⊥平面BCF，從而FG為三棱錐G-BCF的高，然后求出三角形BCF的面積，根據三棱錐的體積公式解之即可．

解答：解：（1）由題意可得G是AC的中點，連接FG
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC的中點
在△AEC中，FG∥AE，而FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD
（2）由BF⊥面ACE得BF⊥AE，且BC⊥面ABE，
則AE⊥BE，∴DE⊥BE，又BC⊥BE，故BC，DE所成角為二面D-BE-C的平面角，
而AD，DE所成角為BC，DE的所成角，易得∠ADE=

π

4

，
故二面角D-BE-C的大小為

π

4

（3）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B
∴AE⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
則FG為三棱錐G-BCF的高，GF=1
在直角三角形BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

∴S_△BCF=

1

2

2

×

2

=1
∴V_C-BGF=V_G-BCF=

1

3

×S_△BCF×FG=

1

3

（注：用向量法參照給分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了體積的計算和轉化的思想，屬于中檔題．