Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．
（1）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）找出圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，根據直線l與圓沒有公共點得到直線l與圓外離，即d大于r列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）根據題意得出直線OP與直線OQ垂直，即斜率乘積為-1，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線l方程與圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，根據斜率乘積為-1列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）將圓的方程化為標準方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=9

1

4

-m，
∴圓心C（-

1

2

，3），半徑r²=9

1

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
∵圓心C到直線l的距離d²=

5

4

，直線l與圓C沒有公共點
∴9

1

4

-m＜

5

4

，即m＞8，
則m的范圍為（8，

37

4

）；
（2）根據題意得：△OQP為直角三角形，即OP⊥OQ，
將直線l與圓方程聯立消去y得到：5x²+10x+4m-27=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m-27

5

，y₁y₂=

3-x1

2

•

3-x2

2

=

9-(x1+x2)+x1x2

4

=

11+ 4m-27 5

4

，
∵x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4m-27

5

+

11+ 4m-27 5

4

=-1，
解得：m=3．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：根與系數的關系，兩直線垂直時斜率的乘積為-1，圓的標準方程，以及點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系有d與r的大小關系來判斷：當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．