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已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0.
(1)若直線l與圓C沒有公共點,求m的取值范圍;
(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點,O為原點,且OP⊥OQ,求實數m的值.
分析:(1)找出圓心坐標與半徑r,利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d,根據直線l與圓沒有公共點得到直線l與圓外離,即d大于r列出關于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范圍;
(2)根據題意得出直線OP與直線OQ垂直,即斜率乘積為-1,設P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線l方程與圓方程聯立,消去y得到關于x的一元二次方程,利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積,根據斜率乘積為-1列出關于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.
解答:解:(1)將圓的方程化為標準方程得:(x+
1
2
2+(y-3)2=9
1
4
-m,
∴圓心C(-
1
2
,3),半徑r2=9
1
4
-m>0,即m<
37
4

∵圓心C到直線l的距離d2=
5
4
,直線l與圓C沒有公共點
∴9
1
4
-m<
5
4
,即m>8,
則m的范圍為(8,
37
4
);
(2)根據題意得:△OQP為直角三角形,即OP⊥OQ,
將直線l與圓方程聯立消去y得到:5x2+10x+4m-27=0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴x1+x2=-2,x1x2=
4m-27
5
,y1y2=
3-x1
2
3-x2
2
=
9-(x1+x2)+x1x2
4
=
11+
4m-27
5
4

∵x1x2+y1y2=0,
4m-27
5
+
11+
4m-27
5
4
=-1,
解得:m=3.
點評:此題考查了直線與圓的位置關系,涉及的知識有:根與系數的關系,兩直線垂直時斜率的乘積為-1,圓的標準方程,以及點到直線的距離公式,直線與圓的位置關系有d與r的大小關系來判斷:當d>r時,直線與圓相離;當d=r時,直線與圓相切;當d<r時,直線與圓相交(d為圓心到直線的距離,r為圓的半徑).
練習冊系列答案
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7
,求此圓方程.
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(1)當r=1時,試用k表示點B的坐標;
(2)當r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標平面上,橫、縱坐標都為有理數的點為有理點.我們知道,一個有理數可以表示為
qp
,其中p、q均為整數且p、q互質)
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當0<k<1時,是否能構造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成?若能,請嘗試探索其構造方法;若不能,試簡述你的理由.

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x
a
y
b
=1
與圓C有公共點,且公共點都為整點(整點是指橫坐標.縱坐標都是整數的點),那么直線l共有(  )

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已知圓C:x2+y2=4與直線L:x+y+a=0相切,則a=(  )

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