Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1時函數f（x）有三個互不相同的零點，求m的取值范圍；
（2）若函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三個互不相同的零點，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數根，構造函數確定函數的單調性，可得函數的極值，從而可得m的取值范圍；
（2）要使函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三個互不相同的零點，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，可得-1＜x＜

1

3

；令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數，在（-1，

1

3

）上為增函數，
∴g（x）_極小=g（-1）=-1，g（x）_極大=g（

1

3

）=

5

27

∴m的取值范圍是（-1，

5

27

）    …（6分）
（2）由題設可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上沒有實數根，
∴

f′(1)=3+2a-a2＜0 f′(-1)=3-2a-a2＜0 a＞0

，解得a＞3       …（12分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，還考查了變量分離的思想方法，屬于中檔題．