Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2
（1）求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求平面A₁BC₁與平面ACD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）根據面面平行的判定定理，要證平面A₁BC₁∥平面ACD₁，只需證明AC∥面A₁BC₁，CD₁∥面A₁BC₁；
（2）建立空間坐標系，設

n

為面ACD₁的一個法向量，則所求距離d=|

A1A

|×|cos＜

n

，

A1A

＞|，根據條件計算所求值即可；

解答：（1）證明：作圖如下所示：
∵四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，∴AC∥A₁C₁，
AC?面A₁BC₁，A₁C₁?A₁BC₁，
∴AC∥同理可證CD₁∥面A₁BC₁，
又AC∩CD₁=C，AC?面ACD₁，CD₁?面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：分別以

B1A1

，

B1C1

，

B1B

的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A₁（4，0，0），A（4，0，2），D₁（4，3，0），C（0，3，2），

A1A

=（0，0，2），

AC

=（-4，3，0），

AD1

=（0，3，-2），
設

n

=（x，y，z）為面ACD₁的一個法向量，
則

n • AC =0 n • AD1 =0

，即

-4x+3y=0 3y-z=0

，取

n

=（3，4，6），
所以所求距離d=|

A1A

|×|cos＜

n

，

A1A

＞|=

| n • A1A |

| n |

=

12

32+42+62

=

12

61

61

，
故平面A₁BC₁與平面ACD₁的距離為

12

61

61

．

點評：本題考查面面平行的判定及兩平行面間的距離求解，考查學生的運算能力、分析解決問題的能力，屬中檔題．