Question

過原點(diǎn)且與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)是（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為y=kx，聯(lián)立

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，得（b²-a²k²）x²-a²b²=0，由過原點(diǎn)的直線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，得k=±

b

a

．由y=±

b

a

x是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線，能求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為y=kx，
聯(lián)立

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，得（b²-a²k²）x²-a²b²=0，
∵過原點(diǎn)的直線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=4（b²-a²k²）a²b²=0，
解得k=±

b

a

．
∵y=±

b

a

x是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線，
∴過原點(diǎn)且與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)是0條．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．