Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求A₁B₁與AC所成角的大��；
（2）若E是A₁C的中點，求證：BE⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（1）由于在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁，則A₁B₁與AC所成角的大小即為∠CAB=45°；
（2）根據DD₁⊥AC，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BDD₁，進而得到AC⊥BD₁，同理AB₁⊥BD₁，
再根據線面垂直的判定定理可知BD₁⊥平面AB₁C．

解答：證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁，
∴A₁B₁與AC所成角即為AB與AC所成角即∠CAB，
又∵∠CAB=45°，
∴A₁B₁與AC所成角為45°；
（2）連接BD₁，∵E是A₁C的中點，∴E也是BD₁的中點，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
又∵AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，同理AB₁⊥BD₁，
又∵AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面AB₁C．

點評：本題考查異面直線所成的角，以及平面與平面垂直的判定，同時考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．