Question

【題目】已知圓：，點(diǎn)，.

（1）若線段的中垂線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）過(guò)直線上的點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，若，則稱點(diǎn)為“好點(diǎn)”. 若直線上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率，可得的中垂線方程，利用直線與圓相切，求解即可．
（2）連接，先求出圓的方程，直線上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，推出圓心到直線的距離，求解即可．

解：（1）由，得：

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，

所以的中垂線方程為，即，

又因?yàn)?/span>的中垂線與圓相切，

所以圓心到中垂線的距離，

即；

（2）連接，

在中，，，

所以，

所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，記為圓，

則圓的方程為，

又因?yàn)橹本�的方程為，且直線上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，

則直線與圓相交，

所以圓心到直線的距離，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.