Question

已知點G是圓F：(x+2)²+y²=4上任意一點，R（2，0），線段GR的垂直平分線交直線GF于H.

（1）求點H的軌跡C的方程；

（2）點M（1，0），P、Q是軌跡C上的兩點，直線PQ過圓心F（-2，0），且F在線段PQ之間，求△PQM面積的最小值.

Answer 1

解：（1）點H的軌跡C的方程為x²=1.

（2）設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),若PQ⊥x軸,則直線PQ:x=-2代入C的方程得y₁=3,y₂=-3,

S_△PQM=S_△PFM+S_△QFM=×6×3=9.

若PQ不垂直于x軸，設直線PQ:y=k(x+2).

∵F在P、Q兩點之間，∴P、Q在雙曲線的左支上，且y₁y₂＜0.

又雙曲線的漸近線為y=±x,∴k＜-或k＞,即|k|＞,聯立

消去x，整理得(3-k²)y²-12ky+9k²=0.y₁y₂=,y₁+y₂=,

∴|y₁-y₂|==6=6≥6

∴S_△PQM=|y₁-y₂|×|FM|=|y₁-y₂|≥9.

綜上可知：△PQM面積的最小值是9.