Question

橢圓焦點在x軸，離心率為

3

2

，直線y=1-x與橢圓交于M，N兩點，滿足OM⊥ON，求橢圓方程．

Answer 1

分析：設出橢圓的方程，然后根據題意將已知代入方程，并運用設而不求韋達定理求出參數a，b．最后寫出橢圓方程．

解答：解：設橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

3

2

，∴a²=4b²，即a=2b．
∴橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
把直線方程代入化簡得5x²-8x+4-4b²=0．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

1

5

（4-4b²）．
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=

1

5

（1-4b²）．
由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
解得b²=

5

8

，a²=

5

2

．
∴橢圓方程為

2

5

x²+

8

5

y²=1．

點評：本題考查雙曲線與橢圓方程的應用，根據雙曲線方程，設出橢圓方程，并根據已知求解．考查了學生對雙曲線以及橢圓知識的糅合，屬于中檔題．