Question

對于正整數n．證明：f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數．

Answer 1

【答案】分析：利用數學歸納法來證明，當n=1時，命題成立，再假設當n=k時，f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除，證明當n=k+1時，命題也成立．
解答：證明：（1）當n=1時，f（1）═3⁴-8-9=64能被64整除，命題成立．
（2）假設當n=k時，f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除．      
當n=k+1時，f（k+1）=3^2k+4-8（k+1）-9=9[3^2k+2-8k-9]+64k+64=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）
∵f（k）=3^2k+2-8k-9能夠被64整除，
∴f（k+1）=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）能夠被64整除．                    
即當n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）可知，f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除，即f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數．
點評：本題考查數學歸納法的運用，解題的關鍵正確運用數學歸納法的證題步驟，屬于中檔題．