Question

已知A（-1，0），B是圓F：（x-1）²+y²=9（F為圓心）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

4

9

x2+

4

5

y2=1

．

Answer 1

分析：利用線段垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義，可證出|PF|+|PA|為定值，且這個(gè)定值大于AF長(zhǎng)，故點(diǎn)P的軌跡 是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，然后求出a、b的值得到橢圓的方程，即為所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：由題意得圓心F（1，0），半徑r=3，
∵線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，
得|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=r=3＞|AF|，
故點(diǎn)P的軌跡是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，
其中2a=3，c=1，可得b²=a²-c²=

5

4

，
∴橢圓的方程為

4

9

x2+

4

5

y2=1，即為所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程
故答案為：

4

9

x2+

4

5

y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓內(nèi)滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義、線段的中垂線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．