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已知函數f(x)=x2+x.
(1)數列{an}滿足a1>0,an+1=f'(an),若
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
1
2
對任意n∈N+恒成立,求a1的取值范圍;
(2)數列{bn}滿足b1=1,bn+1=f(bn),n∈N+,記Cn=
1
1+bn
,Sk為數列{cn}前k項和,Tk為數列{cn}的前k項積,求證:
T1
S1+T1
+
T2
S2+T2
+…+
Tn
Sn+Tn
7
10
分析:(1)根據題意得到an+1=2an+1,利用構造新數列的方法求出an+1=(a1+1)2n-1,進而得到
1
1+an
=
1
1+a1
(
1
2
)
n-1
,再求和整理可得a1>3-
1
2n-2
即可得到答案.
(2)由bn+1=bn(bn+1)即可得到Cn=
1
1+bn
=
bn
bn+1
,進而得到Tn=
b1
bn+1
,SK=1-
1
bk+1
,利用放縮法得到
1
bk+1
1
bk2
,進一步利用放縮法得到
n
k=1
Tk
Sk+Tk
=
n
k=1
1
bk+1
1
2
+
1
6
+
1
62
+
1
64
+…+
1
62n-2
,即可得到答案.
解答:解:(1)由題意可得:函數f(x)=x2+x,
所以f′(x)=2x+1,
所以an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1),
所以{an+1}為等比數列,并且an+1=(a1+1)2n-1
所以
1
1+an
=
1
1+a1
(
1
2
)n-1

即有
n
i=1
1
1+ai
=
1
1+a1
(1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)=
2-
1
2n-1
1+a1
1
2
對任意n∈N+恒成立,
即有a1>3-
1
2n-2
對任意n∈N+恒成立,
故a1≥3.
(2)由題意可得:函數f(x)=x2+x,
所以bn+1=f(bn)=bn(bn+1)
所以Cn=
1
1+bn
=
bn
bn+1

所以Tn=
b1
b2
b2
b3
bn
bn+1
=
b1
bn+1

又由bn+1=bn(bn+1)得
1
bn+1
=
1
bn
-
1
bn+1
,
所以Cn=
1
bn
-
1
bn+1
,SK=1-
1
bk+1

因為b1=1,bk+1=bk(bk+1),所以bk+1>bk2,即有
1
bk+1
1
bk2

又因為b1=1,b2=2,b3=6,
所以
n
k=1
Tk
Sk+Tk
=
n
k=1
1
bk+1
1
2
+
1
6
+
1
62
+
1
64
+…+
1
62n-2
1
2
+
1
6
1-
1
6
=
7
10
點評:解決此類問題的關鍵是數列掌握求數列通項與數列求和的方法,而在證明不等式或者證明不等式恒成立等問題時最常用的方法是放縮法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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