Question

過函數f（x）=x³-3x上的點M（-2，-2）的切線方程是

y=-2和y=9x+16

．

Answer 1

分析：欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設切點坐標為（t，t³-3t），利用導數求出在x=t處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：設切點坐標為（t，t³-3t），
∵f′（x）=3x²-3，∴切線斜率為3t²-3=3（t²-1），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點M（-2，-2），故坐標M滿足切線方程，
∴-2-（t³-3t）=3（t²-1）（-2-t），整理得2t³+6t²-8=（t+2）²（t-1）=0
解得t=-2或t=1．
當t=-2時，t³-3t=-2，3t²-3=9；
當t=1時，t³-3t=-2，3t²-3=0；
故切點為（-2，-2）時，切線斜率為9，
則切線方程為y+2=9（x+2）；
切點為（1，-2）時，切線斜率為0，
則切線方程為y+2=0（x-1）；
∴切線方程為9x-y+16=0或y=-2
故答案為：9x-y+16=0或y=-2．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．