Question

設(shè)a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

Answer 1

（1）a=1

解析:

依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+ae^x.整理，

得(a－) (e^x－)=0.因此，有a－=0,即a²=1,又a>0,∴a=1

(2)設(shè)0＜x₁＜x₂,則f(x₁)－f(x₂)=

由x₁>0,x₂>0,x₂>x₁,∴>0,1－e＜0,

∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)