Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=1，a_n=

an-1+an-2

2

，求

lim

n→∞

a_n．

Answer 1

分析：利用已知條件，求出{2a_n+a_n-1}是常數(shù)列，然后求出a_n的通項(xiàng)公式，然后求出

lim

n→∞

a_n

解答：解：由a_n=

an-1+an-2

2

，得
2a_n+a_n-1=2a_n-1+a_n-2，∴{2a_n+a_n-1}是常數(shù)列．
∵2a₂+a₁=2，∴2a_n+a_n-1=2．
∴a_n-

2

3

=-

1

2

（a_n-1-

2

3

）．
∴{a_n-

2

3

}是公比為-

1

2

，首項(xiàng)為-

2

3

的等比數(shù)列．
∴a_n-

2

3

=-

2

3

×（-

1

2

）^n-1．
∴a_n=

2

3

-

2

3

×（-

1

2

）^n-1．
∴

lim

n→∞

a_n=

lim

n→∞

[

2

3

-

2

3

×（-

1

2

）^n-1]=

2

3

．

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)列的極限，本題求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．