Question

（理）已知函數f（x）=x²-5x，數列{a_n}的通項公式為an=n+

6

n

(n∈N*)．當|f（a_n）-14|取得最小值時，n的所有可能取值集合為

{1，6}

．

Answer 1

分析：令g（n）=|f（a_n）-14|對其進行配方，數列{a_n}的通項公式為an=n+

6

n

(n∈N*)．利用均值不等式求出最小值，當|f（a_n）-14|取得最小值時，說明f（a_n）越接近14，此時|f（a_n）-14|取得最小值，從而求出n的所有可能取值集合；

解答：解：令g（n）=|f（a_n）-14|=|a_n²-5a_n-14|=|（a_n-

5

2

）²-20.25|，
∵an=n+

6

n

(n∈N*)可得，a_n=n+

6

n

≥2

6

，
要使g（n）最小，（n+

6

n

-

5

2

）²要盡量接近20.25，
∴令（n+

6

n

-

5

2

）²=20.25，
∴n+

6

n

-

5

2

=±

20.25

，∵a_n＞2

6

，
∴n+

6

n

=2.5+

20.25

=7，
解得n=1或6，n的所有可能取值集合為{1，6}，
故答案為{1，6}；

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，同時考查了基本不等式，是一道綜合性較強的題目，屬于難題．