Question

已知函數f(x)=

2x，(0≤x≤1) - 2 5 x+ 12 5 ，(1＜x≤5).

（1）若函數y=f（x）的圖象與直線kx-y-k+1=0有兩個交點，求實數k的取值范圍．
（2）試求函數g（x）=xf（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）作出圖象，利用數形結合法即可求解，注意直線kx-y-k+1=0恒過定點（1，1）．
（2）求出函數g（x）的表達式，求分段函數的值域，要先求函數在各段的值域，然后求并集即可．

解答：解：（1）直線kx-y-k+1=0，可化為y-1=k（x-1），所以該直線過定點M（1，1）．
如下圖所示：B（5，

2

5

），kMB=

1- 2 5

1-5

=-

3

20

，k_MO=1，
由圖象可知k_MB≤k≤k_MO，即-

3

20

≤k≤1．
故實數k的取值范圍為[-

3

20

，1]．
（2）g（x）=xf（x）=

2x2，(0≤x≤1) - 2 5 x2+ 12 5 x，(1＜x≤5)

①當0≤x≤1時，0≤g（x）≤2；
②當1＜x≤5時，g（x）=-

2

5

(x-3)2+

18

5

，此時2≤g（x）≤

18

5

．
綜上，函數g（x）的值域為[0，

18

5

]．

點評：本題主要考查了二次函數的圖象和性質以及分段函數值域的求解．要深刻理解“三個二次”之間的關系，注意數形結合思想在解題中的應用．