Question

平面α內有一個半圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面α，在半圓上任取一點M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影．

(1)求證：NH⊥SB．

(2)這個圖形中有多少個線面垂直關系？

(3)這個圖形中有多少個直角三角形？

(4)這個圖形中有多少對相互垂直的直線？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連AM，BM．∵AB為已知圓的直徑，如圖所示． 　　∴AM⊥BM， 　　∵SA⊥平面α，MBα， 　　∴SA⊥MB． 　　∵AM∩SA＝A，∴BM⊥平面SAM． 　　∵AN平面SAM， 　　∴BM⊥AN． 　　∵AN⊥SM于N，BM∩SM＝M， 　　∴AN⊥平面SMB． 　　∵AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影 　　∴NH⊥SB． 　　(2)由(1)知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM．AN⊥平面SMB． 　　∵SB⊥AH且SB⊥HN． 　　∴SB⊥平面ANH． 　　∴圖中共有4個線面垂直關系 　　(3)∵SA⊥平面AMB， 　　∴ΔSAB、ΔSAM均為直角三角形． 　　∵BM⊥平面SAM，∴ΔBMA，ΔBMS均為直角三角形． 　　∵AN⊥平面SMB．∴ΔANS、ΔANM、ΔANH均為直角三角形． 　　∵SB⊥平面AHN．∴ΔSHA、ΔBHA、ΔSHN均為直角三角形 　　綜上所述，圖中共有10個直角三角形． 　　(4)由SA⊥平面AMB知：SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM； 　　由BM⊥平面SAM知：BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN； 　　由AN⊥平面SMB知：AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH； 　　SB⊥平面AHN知：SB⊥AH，SB⊥HN； 　　綜上所述，圖中有11對互相垂直的直線． 　　解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關系及論證，空間想象力．