Question

一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響．假設該時刻有ξ部電話占線．試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望．

Answer 1

【答案】分析：由題意知本題是一個獨立重復試驗和互斥事件，該時刻有ξ部電話占線，則變量的可能取值是0、1、2、3、4，根據公式可以得到變量的概率，寫出分布列和期望．
解答：解：由題意知本題是一個獨立重復試驗，根據公式可以得到變量的概率，
該時刻有ξ部電話占線，則變量的可能取值是0、1、2、3、4，
P（ξ=0）=0.5²×0.6²=0.09．
P（ξ=1）=C₂¹×0.5²×0.6²+C₂¹×0.5²×0.4×0.6=0.3
P（ξ=2）=C₂²×0.5²×0.6²+C₂¹C₂¹×0.5²×0.4×0.6+C₂²×0.5²×0.4²=0.37．
P（ξ=3）=C₂²C₂¹×0.5²×0.4×0.6+C₂¹C₂²×0.5²×0.4²=0.2
P（ξ=4）=0.5²×0.4²=0.04
∴得到隨機變量ξ的概率分布列為：

∴Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8．
點評：本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念．考查運用概率知識解決實際問題的能力．這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望是大型考試中理科考試必出的一道問題．