Question

已知指數函數y=g（x）滿足：g（3）=8，定義域為R的函數f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

是奇函數．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m、n的值；
（3）判斷f（x） 的單調性，并證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件即可確定y=g（x）的解析式；
（2）建立方程關系即可求m、n的值；
（3）根據函數單調性的定義和性質即可判斷f（x） 的單調性，并證明．

解答： 解：（1）設g（x）=a^x，
∵g（3）=8，∴解得a=2，
即g（x）=2^x…（3分）
（2）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，∴

-1+n

2+m

=0，∴n=1．…（5分）
由f（-x）=-f（x），得

-2-x+1

2-x+1+m

=

2x-1

2x+1+m

，
∴

-1+2x

2+m•2x

=

2x-1

m+2x+1

，∴2+m•2^x=m+2^x+1，
即m=2．…（8分）
（3）函數f（x）在R上是減函數．     …（9分）
證明：由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

．…（10分）
設任意x₁∈R，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
則f（x）單調遞減．．…（13分）

點評：本題主要考查函數解析式的求解，以及函數單調性的判斷，要求熟練掌握函數的綜合性質．