Question

若函數(shù)f（x）=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的圖象恒在x軸上方，則a的取值范圍是（　　）

A．[1，+∞）

B．（1，19）

C．[1，19）

D．（-1，19]

Answer 1

分析：由題意可得（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3＞0恒成立，按照a²+4a-5=0①，a²+4a-5≠0②兩種情況進(jìn)行討論，情況①可求得a值，然后代入不等式檢驗即可；情況②可等價轉(zhuǎn)化為不等式組解決．

解答：解：f（x）=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的圖象恒在x軸上方，即（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3＞0（*）恒成立，
（1）當(dāng)a²+4a-5=0時，可得a=-5或a=1，
若a=-5，（*）式可化為24x+3＞0，不恒成立；
若a=1，（*）式可化為3＞0，恒成立；
（2）當(dāng)a²+4a-5≠0時，可得a≠-5且a≠1，
由題意可得，

a2+4a-5＞0 △=[-4(a-1)]2-4(a2+4a-5)×3＜0

，即

a2+4a-5＞0 a2-20a+19＜0

，解得1＜a＜19；
綜上所述，a的取值范圍是：[1，19），
故選C．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．