Question

已知兩點M（-1，0）、N（1，0），點P為坐標平面內的動點，滿足．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點A（t，4）是動點P的軌跡上的一點，K（m，0）是x軸上的一動點，試討論直線AK與圓x²+（y-2）²=4的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），由 ，得 ，由此化簡能求出點P的軌跡C的方程．
（2）由題意得，圓的圓心坐標為（0，2），半徑為2．當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離；當m≠4時，寫出直線AK的方程，圓心M（0，2）到直線AK的距離，由此可判斷直線AK與圓的位置關系．
解答：解：（1）設P（x，y），則，，．（2分）
由，
得，（4分）
化簡得y²=4x．
所以動點P的軌跡方程為y²=4x．（5分）
（2）由點A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（7分）
當m≠4時，直線AK的方程為，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）
圓心（0，2）到直線AK的距離，
令，解得m＜1；
令，解得m=1；
令，解得m＞1．
綜上所述，當m＜1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相交；
當m=1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相切；
當m＞1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（14分）
點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數量積、曲線方程的求法、直線與圓的位置關系以及分類討論思想和等價轉化能力．