Question

【題目】已知

（I）求函數(shù)的極值；

（II）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）時(shí)，沒(méi)有極值，時(shí)有極小值；（II）.

【解析】

（I）求得函數(shù)的，將分成兩類(lèi)，利用的正負(fù)情況，得到的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的極值.（II）先求得函數(shù)的表達(dá)式，并求得其導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成 類(lèi)，利用的單調(diào)區(qū)間和極值情況，結(jié)合題意“有兩個(gè)零點(diǎn)”的要求，求得的取值范圍.

（I）.（1）若，顯然，所以在上遞增，所以沒(méi)有極值.（2）若，則，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以在處取極小值，極小值為.（II）.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且.（1）若，則；.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以.令，則.顯然，所以在上是減函數(shù).又函數(shù)在上是減函數(shù)，取實(shí)數(shù)，則.又，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).由零點(diǎn)存在性定理，在上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn).所以符合題意.（2）若，則，顯然僅有一個(gè)零點(diǎn).所以不符合題意.（3）若，則.①若，則.此時(shí)，即在上遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.②若，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極大值，且極大值，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.③若，則，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.