Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函數f（x）有最小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|3x-1|+x+3，分當x≥

1

3

時和當x＜

1

3

時兩種情況，分別求出不等式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化簡函數f（x）的解析式，為f（x）═

(3+a)x+2，(x≥ 1 3 ) (a-3)x+4．(x＜ 1 3 )

，f（x）有最小值的充要條件為

3+a≥0 a-3≤0

，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|3x-1|+x+3．
當x≥

1

3

時，f（x）≤5可化為3x-1+x+3≤5，解之得

1

3

≤x≤

3

4

；
當x＜

1

3

時，f（x）≤5可化為-3x+1+x+3≤5，解之得-

1

2

≤x＜

1

3

．
綜上可得，原不等式的解集為{x|-

1

2

≤x≤

3

4

}．…（5分）
（Ⅱ）f(x)=|3x-1|+ax+3=

(3+a)x+2，(x≥ 1 3 ) (a-3)x+4．(x＜ 1 3 )

函數f（x）有最小值的充要條件為

3+a≥0 a-3≤0

，即-3≤a≤3，
故實數a的取值范圍是[-3，3]．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．