Question

【題目】（本題滿(mǎn)分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C，半拋物線(xiàn)：（），設(shè)點(diǎn)．

（Ⅰ）求C的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T是曲線(xiàn)上一點(diǎn)，曲線(xiàn)在點(diǎn)T處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△ABD的面積的最大值及點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則可得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積公式可求得點(diǎn)的軌跡的軌跡方程．（Ⅱ）拋物線(xiàn)為，設(shè)（），對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，從而可得切線(xiàn)方程．將切線(xiàn)方程和曲線(xiàn)方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程．可知其判別式大于0，由韋達(dá)定理可得兩根之和，兩根之積．根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得弦由點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式可求得三角形的高，從而可得三角形面積．配方法可求得其最值及取最值時(shí)的值．

試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由，得，

所以的軌跡方程是；（4分）

（Ⅱ）拋物線(xiàn)為，設(shè)（），則，所以切線(xiàn)為：

，即，聯(lián)立，，

判別式△，設(shè)，，則，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，于是，得，則，

故△ABD的面積，此時(shí)．（12分）