Question

某學校高一年級組建了A、B、C、D四個不同的“研究性學習”小組，要求高一年級學生必須參加，且只能參加一個小組的活動．假定某班的甲、乙、丙三名同學對這四個小組的選擇是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名同學選擇四個小組的所有選法種數；
（2）求甲、乙、丙三名同學中至少有二人參加同一組活動的概率；
（3）設隨機變量X為甲、乙、丙三名同學參加A小組活動的人數，求X的分布列與數學期望EX．

Answer 1

分析：（1）甲、乙、丙三名同學每人選擇四個小組的方法是4種，利用乘法原理可得結論；
（2）求出對立事件的概率，可得結論；
（3）確定X的取值，求出相應的概率，即可得到X的分布列與數學期望EX．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名同學每人選擇四個小組的方法是4種，故有4³=64種．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同學選擇三個小組的概率為

A 3 4

43

=

3

8

所以三名同學至少有二人選擇同一小組的概率為1-

3

8

=

5

8

．（8分）
（3）由題意X的可能取值為：0，1，2，3
所以P(X=0)=

33

43

=

27

64

，P(X=1)=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P(X=2)=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P(X=3)=

C 3 3

43

=

1

16

，（12分）
所以X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

故數學期望EX=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．（14分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．