Question

已知函數f（x）=lnx+

a-x

x

，其中a為常數，且a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x+1垂直，求a的值；
（2）若函數f（x）在區間[1，2]上的最小值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由垂直直線的斜率關系列方程求a的值即可；
（2）對參數a進行分類，先研究f（x）在[1，2]上的單調性，利用導數求解f（x）在[1，2]上的最小值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值即得a的值．

解答：解：f′（x）=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（4分）
（1）因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x+1垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）當0＜a≤1時，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=

1

2

，a=

3

2

，不合（8分）
當1＜a＜2時，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵對于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數，
對于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴lna=

1

2

，a=

e

，（11分）
當a≥2時，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數，∴f（x）min=f（2）=ln2+

a

2

-1，
∴ln2+

a

2

-1=

1

2

，a=3-2ln2，不合．
綜上，a的值為

e

．（13分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類講座思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．