Question

設函數f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x＞0時，證明不等式：

x

1+x

＜ln(x+1)＜x；
（Ⅲ）設f（x）的最小值為g（a），證明不等式：-

1

a

＜g(a)＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函數f（x）的定義域為（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

，a＞0，由f′（x）=0，得x=

1

a

．列表討論，能求出f（x）的單調區間．
（Ⅱ）設∅（x）=ln（x+1）-

x

1+x

，x∈[0，+∞），則∅′（x）=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

．由此能夠證明

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)•ln(

1

a

+1)，將x=

1

a

代入

x

1+x

＜ln(x+1)＜x，得

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

，由此能夠證明-

1

a

＜g(a)＜0．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，
∴函數f（x）的定義域為（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

，a＞0，
由f′（x）=0，得x=

1

a

．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由上表知，當x∈（-1，

1

a

）時，f′（x）＜0，函數f（x）在（-1，

1

a

）內單調遞減；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）在（

1

a

，+∞）內單調遞增．
∴函數f（x）的增區間是（

1

a

，+∞），減區間是（-1，

1

a

）．
（Ⅱ）證明：設∅（x）=ln（x+1）-

x

1+x

，x∈[0，+∞），
對∅（x）求導，得∅′（x）=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

．
當x≥0時，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）內是增函數．
∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）-

x

1+x

＞0，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)．
同理可證ln（x+1）＜x，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)•ln(

1

a

+1)，
將x=

1

a

代入

x

1+x

＜ln(x+1)＜x，
得

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

，
即1＜(a+1)ln(

1

a

+1)＜1+

1

a

，
∴-

1

a

＜1-(a+1)ln(

1

a

+1)＜0，
故-

1

a

＜g(a)＜0．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，考查推理論證能力，考查運算推導能力，考查等價轉化思想，考查分類討論思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的綜合應用．