Question

若f（x）=其中a∈R
（1）當a=-2時，求函數y（x）在區間[e，e²]上的最大值；
（2）當a＞0，時，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=-2，x∈[e，e²]時，f（x）=x²-2lnx+2，求其導數可判函數在在[e，e²]上單調遞增，進而可得其最大值；
（2）分類討論可得函數y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為，分段令其，解之可得a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=-2，x∈[e，e²]時，f（x）=x²-2lnx+2，（1分）
∵，∴當x∈[e，e²]時，f'（x）＞0，（2分）
∴函數f（x）=x²-2lnx+2在[e，e²]上單調遞增，（3分）
故+2=e⁴-2（4分）
（2）①當x≥e時，f（x）=x²+alnx-a，，
∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上單調遞增，（5分）
故當x=e時，；                            （6分）
②當1≤x≤e時，f（x）=x²-alnx+a，f′（x）=2x-=（x+）（x-），（7分）
（i）當≤1，即0＜a≤2時，f（x）在區間[1，e）上為增函數，
當x=1時，f（x）_min=f（1）=1+a，且此時f（1）＜f（e）=e²；      （8分）
（ii）當，即2＜a≤2e²時，f（x）在區間上為減函數，在區間上為增函數，（9分）
故當x=時，，且此時f（）＜f（e）=e²；（10分）
（iii）當，即a＞2e²時，f（x）=x²-alnx+a在區間[1，e]上為減函數，
故當x=e時，．（11分）
綜上所述，函數y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為（12分）
由得0＜a≤2；由得無解；由得無解；  （13分）
故所求a的取值范圍是（0，2]．                                     （14分）
點評：本題考查利用導數求閉區間的最值，涉及分類討論的思想，屬難題．