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已知橢圓：
x2
4
+
y2
b2
=1(0＜b＜2)，左右焦點分別為F1，F2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|+|AF2|的最大值為5，則b的值是
3
3
．
分析：由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．
解答：解：由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，
∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|．
當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此時|AB|=b2，∴5=8-b2，
解得b=
3
．
故答案為
3
．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，解答此題的關鍵是明確過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C方程為
x2
4
+
y2
3
=1，直線l：y=
x
2
+m與橢圓C交于A、B兩點，點P(1，
3
2
)，
（1）求弦AB中點M的軌跡方程；
（2）設直線PA、PB斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B，曲線E是以橢圓中心為頂點，B為焦點的拋物線．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
k
(x-1)與曲線E交于不同的兩點M、N，當
AM
•
AN
≥17時，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知橢圓
y2
5
+
x2
4
=1的上、下焦點分別為N、M，若動點P滿足
MP
•
MN
=|
PN
|•|
MN
|
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）直線l1：y=-1，設傾斜角為α的直線l2過點N，交軌跡C于兩點A、B，交直線l1于點R．若α∈（0，
π
6
]，求|AR|•|BR|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知定點F1（-2，0）、F2（2，0），動點N滿足|
ON
|=1（O為坐標原點），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求點P的軌跡方程．
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（2）如圖2，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N，
（ⅰ）設直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1•k2為定值；
（ⅱ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

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