Question

設(shè)x₁、x₂(x₁≠x₂)是函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²－a²x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)若x₁＝－1，x₂＝2，求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若，求b的最大值．

(3)若x₁＜x＜x₂，且x₂＝a，，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)∵是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)， 　　∴，．∴，， 　　解得．∴　　4分 　　(2)∵是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，∴． 　　∴是方程的兩根． 　　∵，∴對(duì)一切恒成立．， 　　， 　　∵，∴． 　　∴． 　　由得，∴． 　　∵，∴，∴．令， 　　則． 　　當(dāng)時(shí)，，∴在(0，4)內(nèi)是增函數(shù)； 　　當(dāng)時(shí)，，∴在(4，6)內(nèi)是減函數(shù)． 　　∴當(dāng)時(shí)，有極大值為96，∴在上的最大值是96， 　　∴的最大值是　　8分 　　(3)∵是方程的兩根， 　　∴，∵，，∴． 　　∴ 　　∵， 　　 　　 　　　　12分