Question

已知函數
（Ⅰ）若為的極值點，求實數的值；
（Ⅱ）若在上為增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當時，方程有實根，求實數的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0

解析試題分析：（I）……2分
因為為的極值點，所以，即，
解得。經檢驗，合題意……4分（沒有寫經檢驗的減1分）
（II）因為函數在上為增函數，所以
在上恒成立。
?當時，在上恒成立，所以在上為增函數，故 符合題意。 ……………………6分                                   
?當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，
故只能，所以在上恒成立。  
令函數，其對稱軸為，
因為，所以，
要使在上恒成立，
只要即可，即，
所以。
因為，所以。
綜上所述，a的取值范圍為。………8分
（Ⅲ）當時，方程可化為。
問題轉化為在上有解，即求函數的值域。
因為函數，令函數，………10分
則，
所以當時，，從而函數在上為增函數，
當時，，從而函數在上為減函數，
因此。
而，所以，因此當時，b取得最大值0.  ………12分  
考點：函數導數的幾何意義及利用導數求極值最值
點評：本題中的不等式恒成立或方程有實根轉化為求構造的新函數的最值問題，這是函數題中最常用的轉化方法