Question

在△ABC中，三角A、B、C所對三邊a、b、c，其中a、b是方程x²-2x+2=0的兩根，且2cos （A+B）=-1．
（1）求c；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵a、b是方程x²-2x+2=0的兩根，
∴a+b=2且ab=2
∵2cos （A+B）=-1，A+B+C=π
∴-cosC=-，得cosC=，C=
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos=（a+b）²-3ab=（2）²-3×2=6
∴c=；
（2）由（1）知ab=2且C=
∴由正弦定理，得S=absinC=×2×sin=
即△ABC的面積為．
分析：（1）根據(jù)a、b是方程x²-2x+2=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=2且ab=2．由2cos （A+B）=-1結(jié)合三角形內(nèi)角和，得到C=，再利用余弦定理，可得c²=（a+b）²-3ab=6，即可得到邊c的長度；
（2）由（1）知ab=2且C=，利用正弦定理關(guān)于三角形面積的公式，即可算出△ABC的面積．
點評：本題給出△ABC中，a、b是方程x²-2x+2=0的兩根且C=，求邊c的長度并求△ABC的面積，著重考查了韋達定理、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于基礎(chǔ)題．