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已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,實(shí)軸長為8,離心率,過雙曲線的弦AB被點(diǎn)P(4,2)平分;
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求弦AB所在直線方程;
(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.
【答案】分析:(1)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.實(shí)軸長為8,離心率,由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).,故,由此能導(dǎo)出弦AB所在直線方程.
(3)等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),由此能求出直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.
解答:解:(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵實(shí)軸長為8,離心率,∴,∴b2=c2-a2=16.
或∵實(shí)軸長為8,離心率
∴雙曲線為等軸雙曲線,a=b=4.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).


代入x1+x2=8,y1+y2=4,



∴k=2;
所以弦AB所在直線方程為y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.
(3)等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.
∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.
又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),
∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為
∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,兩頂點(diǎn)間的距離為4,漸近線方程為y=±2x.
(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中雙曲線的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為F1′,F(xiàn)2′,求以F1′,F(xiàn)2′為焦點(diǎn),且過點(diǎn)P(0,2)的橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,實(shí)軸長為8,離心率e=
2
,過雙曲線的弦AB被點(diǎn)P(4,2)平分;
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求弦AB所在直線方程;
(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A(2, )及點(diǎn)B(,4),則雙曲線的方程為…(  )

A.=1                         B.=1

C.                          D.

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已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線過點(diǎn)(3,-4)、(,5),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(    )

A.=1                             B.=-1

C.=1                             D.=-1

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已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線過點(diǎn)(3,-4)、(,5),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(    )

A.=1                             B.=-1

C.=1                             D.=-1

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同步練習(xí)冊答案
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