Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱錐E-AB₁F的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證法1：根據直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，過DE構造平行四邊形，使其與平面ABC相交，則可得DE與交線平行，所以進一步可得DE∥平面ABC；
證法2：根據直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，因為D、E均為中點，所以構造平行線的時候可以考慮一下構造“中位線”．
（2）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時候題目中沒有現成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉化一下，如欲證B₁F⊥AF，可以先證明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易證明B₁F⊥FE
（3）本題的后兩問是遞進式的，第（2）問是為第（3）問作鋪墊的．解決三棱錐求體積的問題，關鍵在于找到合適的高與對應的底面，切忌不審圖形，盲目求解．由第（2）問易知，可將B₁F看成是高，Rt△AEF作為底面
解答：解：（I）方法1：設G是AB的中點，連接DG，則DG平行且等于EC，（2分）
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC．（4分）
方法2：連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP．
由E為C₁C的中點，A₁C₁∥CP，可證A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中點，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）

（II）∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點，∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，（6分）
∵AB=AA₁=2，∴，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）
（III），（10分）
（12分）
點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力