【題目】已知A、B、C是橢圓W：
上的三個點，O是坐標原點.
(I)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積.
(II)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.
【答案】(I)
(II) 不可能是菱形
【解析】
解：(1)橢圓W：
＋y2＝1的右頂點B的坐標為(2,0)．
因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．
所以可設A(1，m)，
代入橢圓方程得
＋m2＝1，即m＝±
.
所以菱形OABC的面積是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝
.
(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：
假設四邊形OABC為菱形．
因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，
所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設A(x1，y1)，C(x2，y2)，則
＝－
，
＝k·＋m＝
.
所以AC的中點為M
.
因為M為AC和OB的交點，
所以直線OB的斜率為－
.
因為k·
≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾．
所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．
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【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．曲線
的極坐標方程為
，曲線與曲線的交線為直線
．
（1）求直線和曲線的直角坐標方程；
（2）直線與軸交于點
，與曲線相交于
，
兩點，求
的值．
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【題目】如圖，在平行四邊形
中，
，
，現沿對角線
將
折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線
，
上，且A，B，M，N四點共面.
（1）求證：
；
（2）若平面
平面
，二面角
平面角大小為
，求直線與平面
所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線
．
（1）過
的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交于P，Q兩點，若l與圓
相切，求證：
；
（3）設橢圓
，若M，N分別是，
上的動點，且
，求證：O到直線MN的距離是定值．
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【題目】已知數列
的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.數列前
項和為
，且滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列前
項和
；
（3）在數列中，是否存在連續的三項
，按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的正整數
的值；若不存在，說明理由.
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【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知
km,
,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．
（I）按下列要求寫出函數關系式：
①設
，將
表示成
的函數關系式；
②設
，將表示成
的函數關系式．
（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．
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【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；
（2）已知曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線與的交點，點
是曲線與的交點，、均異于原點，且
，求實數
的值.
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