Question

18、已知P是矩形ABCD所在平面外一點，∠PAB=∠PAD=90°，PA=12，AB=3，AD=4．
（1）求證：PA⊥BD．
（2）求線段PC的長．

Answer 1

分析：（1）由已知中∠PAB=∠PAD=90°，我們易得PA⊥AB，PA⊥AD，結合線面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD，再由線面垂直的性質即可得到PA⊥BD．
（2）由已知中四邊形ABCD為矩形，且AB=3，AD=4，根據勾股定理，我們可得矩形的對角線AC的長，再由（1）的結論，可得PA⊥AC，結合PA=12，由勾股定理即可得到線段PC的長．

解答：解（1）：證明：∵∠PAB=∠PAD=90°，
∴PA⊥AB，PA⊥AD
又∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
又∵BD?平面ABCD
∴PA⊥BD．
（2）∵四邊形ABCD為矩形，且AB=3，AD=4
∴AC=5
又∵AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC
又∵PA=12
∴PC=13

點評：本題考查的知識瞇是直線與平面垂直的性質，空間點到點間距離的計算，其中熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的辯證關系，將直角三角形與垂直問題有機結合，是解答本題的關鍵．