Question

如圖，四棱錐中，底面為正方形，，

平面，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證明面面垂直，根據(jù)平面，所以以及得到平面．從而得到證明。

（2）  （3）

【解析】

試題分析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081112502922206442/SYS201308111251023957870539_DA.files/image001.png">平面，所以． 2分

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081112502922206442/SYS201308111251023957870539_DA.files/image009.png">為正方形，所以，

所以平面．

所以平面平面．  4分 

（2）解：在平面內(nèi)過作直線．

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081112502922206442/SYS201308111251023957870539_DA.files/image010.png">平面，所以平面．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．

所以 ，．

設(shè)平面的法向量為，則有

所以   取，得．

易知平面的法向量為．

所以 ．

由圖可知二面角的平面角是鈍角，      

所以二面角的余弦值為．   8分

（3）根據(jù)等體積法可知到平面的距離,則可以利用

 ,那么結(jié)合底面積和高可知          12分

考點(diǎn)：二面角和距離

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中的面面垂直的判定定理和二面角以及點(diǎn)到面的距離的求解，屬于中檔題。