Question

已知函數f（x）=ax²+x，（a∈R且a≠0）
（1）對于任意的實數x₁，x₂，比較

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大小；
（2） 若x∈[0，1]時，有|f（x）|≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用作差進行比較，將

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)進行作差然后配方，討論系數的符號確定大小關系；
（2）當x=0時，|f（x）|=0符合題意，當x∈（0，1]時，|f（x）|≤1，然后將a分離出來，求出不等式另一邊的最值即可求出a的范圍．

解答：解：（1）

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)=

a

4

(x1-x2)²
當a＞0時，

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)≥0，
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)；
當a＜0時，

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．

（2）∵x∈[0，1]
當x=0時，|f（x）|=0符合題意；
當x∈（0，1]時，|f（x）|≤1
即

ax2+x≤1 ax2+x≥-1

∴

a≤ 1 x2 - 1 x a≥- 1 x2 - 1 x

∴-2≤a≤0
又∵a≠0，∴-2≤a＜0

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及作差比較法和參數分離法的運用，屬于基礎題．