Question

已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊且a=5，b=12，c=13，點I是△ABC的內心，若

AI

=λ(

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

)，則λ=

26

5

．

Answer 1

分析：通過建立直角坐標系，設內切圓的半徑為r，可得r=

a+b-c

2

即可得到點I的坐標，利用向量的有關計算即可得出．

解答：解：如圖所示，
C（0，0），A（12，0），B（0，5）．
∴

AB

=(-12，5)，

AC

=(-12，0)．
∴

AB

| AB |

=(

-12

13

，

5

13

)，

AC

| AC |

=(-1，0)，∴

AB

| AB |

+

AC

| AC |

=（(

-25

13

，

5

13

)）．
設內切圓的半徑為r，則r=

a+b-c

2

=

5+12-13

2

=2，∴I（2，2）．
∴

AI

=(-10，2)．
∵

AI

=λ(

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

)，∴-10=

-25λ

13

，解得λ=

26

5

．
故答案為

26

5

．

點評：熟練掌握直角三角形的內切圓的半徑與三邊的關系及其向量的運算是解題的關鍵．