Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）以橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線方程．
（2）過F做直線L與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，已知線段CD的中點(diǎn)M橫坐標(biāo)3，求弦|CD|的長度．

Answer 1

分析：（1）先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，知

p

2

=1，從而可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由于直線過焦點(diǎn)，先利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式求出x₁+x₂，利用弦長公式x₁+x₂+p求出CD的長．

解答：解：（1）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)（1，0），
由題意知

p

2

=1
∴p=2．…（2分）
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）：因?yàn)閽佄锞�為y²=4x，
所以p=2
設(shè)C、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
因?yàn)榫�段CD中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
則

x1+x2

2

=2，即x₁+x₂=6，
故|CD|=x₁+x₂+p=6+2=8．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，一般可以由公式：|AB|═

1+k2

|x1-x2|求得；線段中點(diǎn)坐標(biāo)通常與根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．但對(duì)于過焦點(diǎn)的弦長注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．