Question

已知函數f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R．
（I）設函數p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在區間（0，3）上不單調，求k的取值范圍；
（II）設函數是否存在k，對任意給定的非零實數x₁，存在惟一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，先求導數：p′（x），因p（x）在區間（0，3）上不單調，得到p′（x）=0在（0，3）上有實數解，且無重根，再利用分離參數的方法得出，最后再利用導數求出此函數的值域即可；
（II）先根據題意得出當k=0時不合題意，因此k≠0，下面討論k≠0的情形，分類討論：（ⅰ）當x₁＞0時，（ⅱ）當x₁＜0時，最后綜合（ⅰ）（ⅱ）即可得出k值．
解答：解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
p′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
因p（x）在區間（0，3）上不單調，所
以p′（x）=0在（0，3）上有實數解，且無重根，
由p′（x）=0得k（2x+1）=-（3x²-2x+5），
∴，
令t=2x+1，有t∈（1，7），記，
則h（t）在（1，3]上單調遞減，在[3，7）上單調遞增，所
以有h（t）∈[6，10），于是，
得k∈（-5，-2]，而當k=-2時有p′（x）=0在（0，3）上有兩個相等的實根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
（II）當x＜0時有q′（x）=f′（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5；
當x＞0時有q′（x）=g′（x）=2k²x+k，
因為當k=0時不合題意，因此k≠0，
下面討論k≠0的情形，記A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（ⅰ）當x₁＞0時，q′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x₂＜0且A⊆B，
因此有k≥5，
（ⅱ）當x₁＜0時，q′（x）在（-∞，0）上單調遞減，
所以要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，只能x₂＞0且A⊆B，
因此k≤5，綜合（ⅰ）（ⅱ）k=5；
當k=5時A=B，則?x₁＜0，q′（x₁）∈B=A，即?x₂＞0，
使得q′（x₂）=q′（x₁）成立，
因為q′（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以x₂的值是唯一的；
同理，?x₁＜0，即存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），
要使q′（x₂）=q′（x₁）成立，所以k=5滿足題意．
點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．