Question

【題目】已知向量a與b滿足：|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

(1) 求向量a與b的夾角θ；

(2) 求|a＋b|；

(3) 若，求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由數量積的定義求得a·b及|a|，|b|，利用cos θ＝即可求得；

（2）利用|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2即可求得；

（3）利用面積公式即可求得.

試題解析：

(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，

∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝.

(2) |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.

(3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.